Вопрос из теорвера.

Бросаю шестигранный кубик 10 раз подряд. Какова вероятность того, что в семи случаях выпадет четверка?

Научись играть в го

Кабан.
Давай научу такие задачки решать с помощью... бинома Нютона.
Итак, есть событие, которое происходит с вероятностью x.
Вероятность того, что оно не произойдет y = 1-x.
Теперь совершаем n попыток.

(x + y)^n = ∑C(n,k)*x^k*y^(n-k) = 1
Суммирование по k от 0 до n.

Здесь C(n,k) = n!/(k!*(n-k)!) - к-ты в разложении этого самого бинома.
Теперь физический смысл.
В нашем случае х = 1/6 - вероятность выпадения четверки,
y = 5/6 - вероятность невыпадения четверки
Нас собственно интересует член где k = 7
То есть вероятность какой-то одной заданной последовательности бросаний с k = 7
равна (1/6)^7*(5/6)^3
Но таких последовательностей будет:
10!/(7!*3!) штук
То есть искомая вероятность P = 10!/(7!*3!)*(1/6)^7*(5/6)^3 = 120*0.00000357*0.579= = 0.00025
Где-то одна 4000-я

Ну и теперь общий случай:

[x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)]^z = ∑B(i,j,k,l,m,n)*x(1)^i*x(2)^j*x(3)^k*x(4)^l*x(5)^m*x(6)^n
Суммирование по всем положительным i,j,k,l,m,n при i+j+k+l+m+n = z
Здесь x(i) = 1/6 - вероятность выпадения цифры i при одном бросании
A B(i,j,k,l,m,n) = n!/(i!*j!*k!*l!*m!*n!) - число перестановок (сочетаний) для заданного набора (i,j,k,l,m,n) теперь уже в полиноме Ньютона
Здесь понятно, i+j+k+l+m+n = z



Редактировано 3 раз(а). Последний раз 03/07/2013 13:05 пользователем Albert.

Спасибо!

Похоже на правду.

Теперь вопрос посложнее.

Играем в нарды. игроки бросают по два кубика одновременно, по очереди.

У одного игрока выпали значения X и Y. Какова вероятность того что у другого выпадут X и Y (или Y и X, что с точки зрения игры одно и то же)?

Научись играть в го

Вероятность, что у противника выпадет X, Y = 1/6 * 1/6 = 1/36
Вероятность, что у противника выпадет Y, X = 1/6 * 1/6 = 1/36

Вероятность что выпадет одно из этих событий = 1/18

Quote
Damir
Вероятность, что у противника выпадет X, Y = 1/6 * 1/6 = 1/36
Вероятность, что у противника выпадет Y, X = 1/6 * 1/6 = 1/36

Вероятность что выпадет одно из этих событий = 1/18

Это немного другая задача.

Попробую иначе выразить ту же свою мысль.
Какова вероятность того, что и у одного и у другого игрока выпадет , скажем 2-3.
Один выбросил 2-3, и другой выбрасывает 2-3.
Один выбросил 3-5, и другой 3-5.

Иначе, бросаем один камень. Какова вероятность того, что в длинной последовательности бросков встретятся

XYXY или
XYYX или
YXYX или
YXXY
?

Естественно, предполагается равномерное распределение цифр при бросании кубика.

Научись играть в го

При одновременном бросании двух костей возникает неупорядоченная пара цифр (сочетание), при том что сами цифры принимают значения от 1 до 6. Классическая формула числа сочетаний "С из n по k" дает выражение п! / k! (n-k)! Однако в нашем случае имеют место сочетания с повторениями. Их число определяется формулой: (n+k-1)! / k! (n-1)! У нас n=6, k=2, получаем С=21. Вероятность, соответственно, будет равна 1/21. Если знать только школьную формулу числа сочетаний (без повторений), то получим число 15, к которому следует добавить повторения – (1,1), (2,2) и т.д., которых 6. Общий итог тот же – 21.

{Го – это роскошь, которую могут позволить себе немногие}

P.S.
В данном (весьма конечном) случае можно решить эту задачу на пальцах.
Подсчитаем общее число возможных вариантов. При выпадении 1 на первом кубике возможны 6 значений на втором. При 2 на первом кубике – для второго кубика остается уже 5 значений (1 мы уже учли). При 3 на 1-м остается 4 значения для 2-го кубика и т.д. Суммируем все случаи: 6+5+4…+1 = 21.

{Го – это роскошь, которую могут позволить себе немногие}

1/36, если х=у (вероятность этого 1/6), и 1/18, если разные.
В общем случае выходит: 1/6 * 1/36 + 5/6 * 1/18 = 11/216, или чуть более 0.05.

Quote
Вадим Хавин
1/36, если х=у (вероятность этого 1/6), и 1/18, если разные.
В общем случае выходит: 1/6 * 1/36 + 5/6 * 1/18 = 11/216, или чуть более 0.05.

Кажется, тут допущена ошибка в применении формулы условной вероятности. 1/36 надо умножить на вероятность того, что случится выпадение именно одинаковой пары цифр. Эта вероятность равна не 1/6, а 2/7, т.к. число таких пар = 6, а общее число всех возможных пар = 21. Вероятность же выпадения различной пары цифр будет не 5/6, а 5/7.
Применяя ту же формулу условной вероятности, получаем: 1/36 * 2/7 + 1/18 * 5/7 = 1/21 ~ 0. 048

Приведённый выше способ решения (через число сочетаний с повторениями) не требует разделения пространства событий и дополнительного вычисления вероятностей. Например, можно рассмотреть распределение вероятностей для сумм на выпавших гранях - от 2 до 12, а затем просуммировать и получить тот же результат, но зачем так сложно?

{Го – это роскошь, которую могут позволить себе немногие}



Редактировано 4 раз(а). Последний раз 25/07/2013 01:32 пользователем Barman.

> Эта вероятность равна не 1/6, а 2/7

Таки 1/6

> т.к. число таких пар = 6, а общее число всех возможных пар = 21.

Не 21, а 36.